Виховна робота

Збірничок задач оптимізації

упорядкований учнями 9 класу

по темі «Площі»

Вчитель Табунщик Г.О.

У світі не відбувається нічого,

у чому б не було видно суті якого-небудь максимуму чи мінімуму.

Л. Ейлер.

У багатьох задачах потрібно знайти макси­мум або мінімум, які об'єднують терміном «екс­тремум», що з латинської означає «крайній». Траєкторії світла та радіохвиль, рух маят­ників та планет, текучість рідин і газів та багато інших рухів виділяються з різноманітності всіх можливих рухів тим, що вони є розв'язаннями деяких задач на максимум і мінімум.

Це перша причина, яка стимулює розв'язувати задачі на знаходження екстремуму.

Друга причина прихована в нас. Людям властиво рухатися до кращого, і тому їм завжди хочеться вибрати оптимальну з усіх можливостей. У деяких випадках математика може допомогти.

Чимало своїх зусиль людина витрачає на пошук найкращого, тобто оптимального розв'я­зання поставленої задачі. Як, маючи певні ресурси, досягти найбільш високого життєво­го рівня, найвищої продуктивності праці, най­менших витрат, максимального прибутку, міні­мальної затрати часу — так постають питання, над якими потрібно міркувати кожному члену суспільства. Математичні задачі є лише моделями ре­альних життєвих ситуацій. На практиці все є Набагато складнішим. Але, безперечно, що й під час будівництва газо- і нафтопроводів, і в багатьох інших задачах, як правило, постає питання про те, як це здійснити найбільш ціле­спрямовано, скажімо, найбільш дешево. Такі проблеми постійно постають у госпо­дарській діяльності. Увесь час потрібно знаходити або найдешевший, або найбільш швидкий, або найкоротший, або найбільш економічний спосіб досягнення мети.

Математикам удалося розробити методи розв'язування задач на найбільше і найменше значення або, як їх ще називають, задач на оптимізацію (від латинського «оптимум» — найкращий). Багато задач пошуку оптимальних розв'язків можна розв'язати тільки з викорис­танням методів диференціального числення. Але існують екстремальні задачі, які розв'язують засобами елементарної математики.

Одне можна сказати напевне:

завтра математика стане ще могутнішою,

ще важливішою і потрібнішою  для людей, ніж сьогодні.

І. Я. Депман

Задача Герона.   Позначено дві точки по один бік від прямої. Потрібно на прямій знайти таку точку, щоб сума відстаней від неї до двох пода­них точок була мінімальною.

Задача 2.   Який з усіх трикутників із заданим пери­метром 2р має найбільшу площу?

Задач 3.    Серед усіх чотирикутників із заданим пе­риметром назвати такий, що має найбільшу площу.

Задача 4.  Серед усіх замкнених плоских кривих ліній, що мають дану довжину, знайти таку, що об­межувала б найбільшу площу.

Задача 5.  Для конструкторського бюро будують залу у формі прямокутного паралелепіпеда, одну з граней якого мають зробити зі скла, а інші — зі звичайного матеріалу. Висота зали повинна бути 3 метри, а площа — 80 м2. Відомо, що 1 м2 скля­ної стіни коштує 75 грн, а звичайної — 50 грн. Якими повинні бути розміри зали, щоб загальна вартість усіх стін була найменшою?

Задача 7.  Дріт завдовжки  І см потрібно розрізати на дві частини і з однієї зроби­ти квадрат, а з другої — правильний трикутник. Як потрібно розрізати дріт, щоб сума площ утворених фігур була найменшою?

Задача8. У прямокутний трикутник, довжи­на гіпотенузи якого –

16 см і кут 60°, вписа­но прямокутник, основа якого знаходиться на гіпотенузі. Якими повинні бути розміри пря­мокутника, щоб його площа була найбіль­шою?

Задача 9. Потрібно побудувати склад, для цього заготовлено матеріал на зовнішні стіни завдовж­ки 32 м і заввишки 4 м. Якими повинні бути розміри складу (вигляд прямокутного паралеле­піпеда), щоб він мав найбільший об'єм?

Задача10. Площа стін і дна каналу зрошуваль­ної системи з прямокутним перерізом становить 6 000 м2. Які мають бути розміри перерізу, щоб об'єм води в каналі, довжина якого 1 км, був найбільшим?

Задача11.  Потрібно обгородити дротяною сіт­кою прямокутну ділянку землі площею 2 400 м2 і розділити її огорожею на дві рівні частини прямокутної форми. Яких розмірів має бути ділянка, щоб довжина огорожі була наймен­шою?

Задача 12. Вікно має форму прямокутника, завершеного півколом. Периметр фігури дорів­нює1 6 м. Якими повинні бути розміри вікна, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла?

Задача 13.  Для прямокутної ділянки площею 900 м2 потрібно побудувати огорожу, дві суміж­ні сторони якої кам'яні, а дві інші — дерев'яні. Один погонний метр дерев'яної огорожі коштує 10 грн, а кам'яної — 25 грн. На будівництво огорожі виділили 2 000 грн. Чи вистачить цієї суми?

Задача 14. Підприємству потрібно повантажи­ти 100 станків, для чого виділяють 1 000 грн. Але з цієї суми вираховують 40 грн за кожну годину роботи. Підприємство укладає договір з бригадою вантажників,  за яким вони отримають  премію розміром 10v; грн, де V-     швидкість роботи. За якої швидкості підпри­ємство отримає найбільший прибуток? Яка величина цього прибутку?

Задача 15. Щоб зробити огорожу клумби, яка має форму кругового сектора, взяли шматок дроту довжиною 20 м. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була най­більшою?

Задача 16. Заготовлено матеріал на 240 м огорожі двох суміжних ділянок прямокутної форми, периметри яких рівні» Які ширину і довжину повинні мати ділянки, щоб їх площа була найбільшою?

Задача 17. Проектують канал зрошуваль­ної системи з прямокутним перерізом 4,5 м2. Якими повинні бути розміри перерізу, щоб для облицювання стінок та дна витратити наймен­шу кількість матеріалу?

Задача 18. Бак наповнюють за допомогою тру­би. За першу секунду вливається 33 см³ води, а за кожну другу — на 2 см³ менше. На дні бака є отвір, через який за першу секунду виливається

3 см³, а через кожну наступну — на 2 см³ більше. Коли рівень води в баку буде найбільшим?

Задача 19. Спортивний майданчик, який має форму прямокутника і площу 6 000 м2, по­трібно обгородити з двох протилежних боків дерев'яною огорожею, а з двох інших боків — дротяною. Один метр дерев'яної огорожі коштує 5 грн, дротяної — 3 грн. Яких розмірів має бути спортивний майданчик, щоб витрати на огорожу були мінімальними?

Задача 20.    На двох майданчиках будують два одноповерхових склади загальною площею 600 м2. Вартість будівництва складу прямопропорційна квадрату його площі. Крім того, відо­мо, що будівництво 1 м2 на другому майданчи­ку на 40 % дорожче, ніж на першому. Якою повинна бути площа кожного складу, щоб вартість будівництва була найменшою?

Задача21.   Є дріт довжиною l. Треба зігнути його так, щоб дістати прямокутник, що обме­жує найбільшу площу.

Задача 22. На території птахоферми потрібно відгородити металевою сіткою довжиною 200 м для каченят ділянку прямокутної форми, що прилягатиме до прямолінійної частини загальної огорожі ферми. Якими повинні бути розміри цієї ділянки, щоб вона мала найбільшу площу?

Задачі із життя і для життя.

До 75 річчя утворення Миколаївської області.

Задача№1

До 75-річчя Миколаївської області депутатом обласної ради  Миколою Жуком була надана  грошова допомога  на придбання і встановлення на території  Новомиколаївської  школи спортивного майданчика, який має форму прямокутника. Його потрібно обгородити  дротяною огорожею.  Вартість 1 метра цієї огорожі 10 грн.  Яких розмірів має бути спортивний майданчик, щоб витрати на огорожу були мінімальними?

Задача№2

У нашому селі є православна Церква. До відзначення Престольного свята, яке святкували 28 серпня,  фермер села надав благодійну допомогу для придбання нових вікон. Якими повинні бути розміри вікна, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла, якщо периметр його  рівен  6 метрів.

Задача№3

Готуючись до 75-річчя утворення Миколаївської області учням школи роздали завдання по упорядкуванню території нашої школи. Учням  9 класу  доручили розбити клумбу для посадки квітів. По колу  висадили рози, всередині  в формі прямокутника -  хрезонтеми,  а в сегментах кола - петунії. Яких розмірів повинен бути прямокутник, щоб його площа була найбільшою, якщо радіус кола-10 метрів ?                             

Висновки:

Розв'язування екстремальних задач дає можливість встановити більш тісний міжпредметний зв'язок алгебри, геометрії та фізики. Ці задачі допомагають усвідомити, що функція, задана аналітичною формулою, може виражати залежності між реальними величинами в най­різноманітніших явищах і процесах.У наш час загально визнано, що успіх роз­витку багатьох сфер науки і техніки суттєво залежить від розвитку математики. Математи­ка є засобом розв'язування проблем організа­ції виробництва, пошуків оптимальних рішень і зрештою сприяє" підвищенню продуктивнос­ті праці і стрімкому поступальному розвитку народного господарства.   Розв'язування екстремальних задач під час вивчення математики виправдано тим, що вони закладають досить повне розуміння того, як людина шукає, постійно розв'язує життєві задачі так, щоб отримані результати її діяль­ності були якнайкращими.


g.tabunshchyk@gmail.com